МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА” РОЗВ’ЯЗУВАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ МЕТОДОМ СКІНЧЕННИХ РІЗНИЦЬ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ з курсу "Чисельні методи" для студентів базового напрямку 6.0802 "Прикладна математика" Затверджено на засіданні кафедри “Прикладна математика” Протокол № 9 від 27.3.2003 р. Львів 2003 Розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь методом скінченних різниць: Методичні вказівки з курсу «Чисельні методи» для студентів базового напрямку 6.0802 «Прикладна математика»/ Укл.: М.В.Кутнів, Я.В.Пізюр. – Львів: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка», 2003.- 22 с. Укладачі Кутнів М.В., канд. фіз-мат. наук, доц., Пізюр Я.В., канд. фіз-мат. наук, доц. Відповідальний за випуск Мединський І.П., канд. фіз-мат. наук, доц. Рецензенти Гнатів Б.В., канд. фіз-мат. наук, доц., Максимів Є.М., канд. фіз-мат. наук, доц. Мета роботи Студенти повинні оволодіти методом скінченних різниць розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку, а також набути практичних навиків у використанні методу прогонки для розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь з тридіагональною матрицею. Теоретичні відомості Метод скінченних різниць полягає в заміні диференціальних рівнянь різницевими (дискретними) рівняннями, які називають різницевою схемою. Для побудови різницевої схеми множина, на якій розглядається задача, заміняється дискретною множиною точок (сіткою). Значення функцій, похідних, початкові і граничні умови подають через значення дискретних (сіткових) функцій у вузлах вибраної сітки, тобто здійснюється заміна диференціального оператора різницевим, а також будуються різницеві аналоги всіх додаткових умов. Отже, задача зводиться до розв'язування системи алгебраїчних рівнянь. Різницеві схеми повинні відображати в просторі сіткових функцій основні властивості диференціальних рівнянь - такі, як самоспряженість, знаковизначеність оператора, виконання певних апріорних оцінок та ін. Важливою задачею є одержання різницевих схем з заданою якістю. Для побудови таких схем використовують ряд методів, про які піде мова в цьому параграфі. 1. Метод заміни похідних скінченними різницями Цей спосіб побудови різницевих схем полягає у тому, що всі похідні, які входять у диференціальне рівняння та крайові умови, заміняються деякими різницевими відношеннями. Для цього використовують формули чисельного диференціювання. Диференціальний оператор
, заданий в класі функцій неперервного аргументу, може бути наближено замінений (апроксимований) різницевим оператором
, заданим на сіткових функціях. Одним із методів апроксимації є заміна кожної з похідних різницевим відношенням, яке містить значення сіткової функції в декількох вузлах сітки. Розглянемо декілька випадків апроксимації. 1. Нехай
. Найпростішими різницевими апроксимаціями на рівномірній сітці
є різницеві похідні:
- ліва;
- права;
- центральна. Множину вузлів, в яких значення сіткових функцій входять у вираз
, називають шаблоном оператора
у точці
. Очевидно, що шаблони операторів
складаються з двох точок (
або
), а
- з трьох (
). Похибкою апроксимації оператора
оператором
називається різниця
Кажуть, що
має p-й порядок апроксимації в точці
, якщо
Використовуючи формулу Тейлора
(1) одержимо


. Отже, якщо
, то ліва і права різницеві похідні апроксимують
з першим порядком , а якщо
, то центральна різницева похідна - з другим порядком. 2.
. Виберемо триточковий шаблон, який складається з вузлів
, і розглянемо різницевий оператор
. Користуючись формулою Тейлора (1) для
, знайдемо
тобто, якщо
, то
має другий порядок апроксимації. 3. Випадок нерівномірної сітки. Нехай
нерівномірна сітка з кроками
. Виберемо триточковий шаблон
і введемо позначення:
,
,
. Оператору
поставимо у відповідність різницевий:
Похибка апроксимації
Звідси має...